GRK 1493 Mathematische Strukturen in der modernen Quantenphysik

Forschungsschwerpunkte

Hintergrund

Fundamentale Fortschritte in Kernbereichen der Mathematik hatten oft ihren Ausgangspunkt in physikalischen Problemen, und analog wurden Fortschritte in der physikalischen Grundlagenforschung oft nur möglich durch die Entwicklung neuer mathematischer Theorien. Ein gutes Beispiel für diese gegenseitige Befruchtung ist die Entwicklung der Quantenphysik im frühen zwanzigsten Jahrhundert in Göttingen, in enger Zusammenarbeit von Mathematikern und Physikern. Diese Tradition hilft uns auch, exzellente Studenten und etablierte Forscher anzuziehen.

Die Zusammenarbeit zwischen Mathematikern und Physikern in verschiedenen Gebieten wurde in letzter Zeit noch wichtiger, da neue Zusammenhänge zwischen Physik und algebraischer Topologie und Geometrie entdeckt worden sind, die konzeptionelle Einblicke sowohl mathematischer als auch physikalischer Art erlauben. Zugleich bleibt die Wechselwirkung mit der Physik ein fortwährend wichtiges Thema in mathematischen Bereichen wie der Funktionalanalysis, Differentialgeometrie und partiellen Differentialgleichungen, die bereits seit langem durch sie geformt wurden. Entsprechend deckt unser Forschungsprogramm Zusammenhänge zur Physik in verschiedenen Gebieten der Mathematik ab.

Ein Schwerpunkt unseres Graduiertenkollegs sind topologische und geometrische Begriffe, die mit der Quantenfeldtheorie und Stringtheorie in Verbindung stehen. Dies schließt Calabi-Yau-Varietäten und getwistete K-Theorie ein, die die inneren Freiheitsgrade der String-Theorie beschreibt; Invarianten von von-Neumann-Algebren und ihrer Inklusionen, die sich als kraftvolles Werkzeug in der algebraischen Quantenfeldtheorie erwiesen haben; nicht-kommutative Geometrie, die helfen könnte, die Mikrostruktur der Raumzeit zu modellieren; und grobe Geometrie, die erklären kann, wie ihre klassische Makrostruktur zu Stande kommt.

Ein weiterer Schwerpunkt besteht in der Konstruktion von Quantenfeldtheorien, sowohl störungstheoretisch als auch nicht-störungstheoretisch, und das Studium ihrer physikalischen Eigenschaften. Dies erfordert verschiedene mathematische Werkzeuge, hauptsächlich aus der harmonischen Analysis, mikrolokalen Analysis und der Theorie der von-Neumann-Algebren. Das Studium hyperbolischer Differentialgleichungen und ihrer Singularitäten ist eine Voraussetzung für die Konstruktion von Quantenfeldern auf singulären Raumzeiten.



Forschungsgebiete

Grobe Geometrie erlaubt uns das Studium globaler Eigenschaften metrischer Räume, unter Nichtbeachtung ihrer lokalen Mikrostruktur. Dieser Ansatz kann dabei helfen, zu verstehen, wie klassische geometrische Begriffe sich trotz ihrer delikaten Mikrostruktur auf die Raumzeit anwenden lassen. Nicht-kommutative Topologie studiert topologische Eigenschaften von verallgemeinerten Räumen, die nützlich in der Beschreibung von C*-Algebren sind. Durch die etablierte Verwendbarkeit von Operatoralgebren in der Quantenphysik stellen solche Algebren gute Kandidaten für Mikrostruktur-Modelle der Raumzeit dar. Die interessanteste topologische Invariante in diesem Kontext ist die K-Theorie; getwistete K-Theorie tritt in der Beschreibung von Ladungen in der String-Theorie auf und ist nahe genug an der gewöhnlichen Homotopie Theorie, um mit klassischen topologischen Mitteln studiert zu werden. Ein weiteres klassisches Gebiet, das kürzlich interessante physikalische Aspekte aufzeigte, ist das Studium spezieller algebraischer Varietäten, wie Calabi-Yau-Varietäten, die die inneren Freiheiten einer Stringtheorie beschreiben.

Topologische Invarianten von von-Neumann-Algebren und ihrer Inklusionen sind kraftvolle Werkzeuge in der algebraischen Quantenfeldtheorie und auch relevant für verschiedene Probleme der reinen Mathematik, wie die Klassifikation von freien Gruppenfaktoren. Neben der Theorie der von-Neumann-Algebren benötigen die Konstruktion von Quantenfeldtheorien und das Studium ihrer physikalischen Eigenschaften auch Ideen anderer mathematischer Bereiche, wie der harmonischen Analysis, Streutheorie und mikrolokale Analysis. Insbesondere umschließt dies das Studium der Lösungen hyperbolischer Differentialgleichungen mit geeigneten Singularitäten und von Brechungseffekten im Kontext hyperbolischer Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten.